Termination w.r.t. Q proof of TRS/TRCSREx3_3_25_Bor03

Termination w.r.t. Q of the following Term Rewriting System could not be shown:

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

app₂(nil, YS) -> YS
app₂(cons₂(X, XS), YS) -> cons₂(X, n__app₂(activate₁(XS), YS))
from₁(X) -> cons₂(X, n__from₁(n__s₁(X)))
zWadr₂(nil, YS) -> nil
zWadr₂(XS, nil) -> nil
zWadr₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> cons₂(app₂(Y, cons₂(X, n__nil)), n__zWadr₂(activate₁(XS), activate₁(YS)))
prefix₁(L) -> cons₂(nil, n__zWadr₂(L, n__prefix₁(L)))
app₂(X1, X2) -> n__app₂(X1, X2)
from₁(X) -> n__from₁(X)
s₁(X) -> n__s₁(X)
nil -> n__nil
zWadr₂(X1, X2) -> n__zWadr₂(X1, X2)
prefix₁(X) -> n__prefix₁(X)
activate₁(n__app₂(X1, X2)) -> app₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__from₁(X)) -> from₁(activate₁(X))
activate₁(n__s₁(X)) -> s₁(activate₁(X))
activate₁(n__nil) -> nil
activate₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> zWadr₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__prefix₁(X)) -> prefix₁(activate₁(X))
activate₁(X) -> X

Q is empty.

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

Q restricted rewrite system:
The TRS R consists of the following rules:

app₂(nil, YS) -> YS
app₂(cons₂(X, XS), YS) -> cons₂(X, n__app₂(activate₁(XS), YS))
from₁(X) -> cons₂(X, n__from₁(n__s₁(X)))
zWadr₂(nil, YS) -> nil
zWadr₂(XS, nil) -> nil
zWadr₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> cons₂(app₂(Y, cons₂(X, n__nil)), n__zWadr₂(activate₁(XS), activate₁(YS)))
prefix₁(L) -> cons₂(nil, n__zWadr₂(L, n__prefix₁(L)))
app₂(X1, X2) -> n__app₂(X1, X2)
from₁(X) -> n__from₁(X)
s₁(X) -> n__s₁(X)
nil -> n__nil
zWadr₂(X1, X2) -> n__zWadr₂(X1, X2)
prefix₁(X) -> n__prefix₁(X)
activate₁(n__app₂(X1, X2)) -> app₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__from₁(X)) -> from₁(activate₁(X))
activate₁(n__s₁(X)) -> s₁(activate₁(X))
activate₁(n__nil) -> nil
activate₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> zWadr₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__prefix₁(X)) -> prefix₁(activate₁(X))
activate₁(X) -> X

Q is empty.

Using Dependency Pairs [1,13] we result in the following initial DP problem:
Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> APP₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> ACTIVATE₁(YS)
APP₂(cons₂(X, XS), YS) -> ACTIVATE₁(XS)
ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X2)
ACTIVATE₁(n__nil) -> NIL
ACTIVATE₁(n__prefix₁(X)) -> PREFIX₁(activate₁(X))
ACTIVATE₁(n__prefix₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)
ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X1)
ACTIVATE₁(n__from₁(X)) -> FROM₁(activate₁(X))
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X2)
ACTIVATE₁(n__s₁(X)) -> S₁(activate₁(X))
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ZWADR₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
PREFIX₁(L) -> NIL
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> ACTIVATE₁(XS)
ACTIVATE₁(n__from₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X1)
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> APP₂(Y, cons₂(X, n__nil))
ACTIVATE₁(n__s₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)

The TRS R consists of the following rules:

app₂(nil, YS) -> YS
app₂(cons₂(X, XS), YS) -> cons₂(X, n__app₂(activate₁(XS), YS))
from₁(X) -> cons₂(X, n__from₁(n__s₁(X)))
zWadr₂(nil, YS) -> nil
zWadr₂(XS, nil) -> nil
zWadr₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> cons₂(app₂(Y, cons₂(X, n__nil)), n__zWadr₂(activate₁(XS), activate₁(YS)))
prefix₁(L) -> cons₂(nil, n__zWadr₂(L, n__prefix₁(L)))
app₂(X1, X2) -> n__app₂(X1, X2)
from₁(X) -> n__from₁(X)
s₁(X) -> n__s₁(X)
nil -> n__nil
zWadr₂(X1, X2) -> n__zWadr₂(X1, X2)
prefix₁(X) -> n__prefix₁(X)
activate₁(n__app₂(X1, X2)) -> app₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__from₁(X)) -> from₁(activate₁(X))
activate₁(n__s₁(X)) -> s₁(activate₁(X))
activate₁(n__nil) -> nil
activate₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> zWadr₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__prefix₁(X)) -> prefix₁(activate₁(X))
activate₁(X) -> X

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

    ↳ QDP

      ↳ DependencyGraphProof

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> APP₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> ACTIVATE₁(YS)
APP₂(cons₂(X, XS), YS) -> ACTIVATE₁(XS)
ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X2)
ACTIVATE₁(n__nil) -> NIL
ACTIVATE₁(n__prefix₁(X)) -> PREFIX₁(activate₁(X))
ACTIVATE₁(n__prefix₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)
ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X1)
ACTIVATE₁(n__from₁(X)) -> FROM₁(activate₁(X))
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X2)
ACTIVATE₁(n__s₁(X)) -> S₁(activate₁(X))
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ZWADR₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
PREFIX₁(L) -> NIL
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> ACTIVATE₁(XS)
ACTIVATE₁(n__from₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X1)
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> APP₂(Y, cons₂(X, n__nil))
ACTIVATE₁(n__s₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)

The TRS R consists of the following rules:

app₂(nil, YS) -> YS
app₂(cons₂(X, XS), YS) -> cons₂(X, n__app₂(activate₁(XS), YS))
from₁(X) -> cons₂(X, n__from₁(n__s₁(X)))
zWadr₂(nil, YS) -> nil
zWadr₂(XS, nil) -> nil
zWadr₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> cons₂(app₂(Y, cons₂(X, n__nil)), n__zWadr₂(activate₁(XS), activate₁(YS)))
prefix₁(L) -> cons₂(nil, n__zWadr₂(L, n__prefix₁(L)))
app₂(X1, X2) -> n__app₂(X1, X2)
from₁(X) -> n__from₁(X)
s₁(X) -> n__s₁(X)
nil -> n__nil
zWadr₂(X1, X2) -> n__zWadr₂(X1, X2)
prefix₁(X) -> n__prefix₁(X)
activate₁(n__app₂(X1, X2)) -> app₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__from₁(X)) -> from₁(activate₁(X))
activate₁(n__s₁(X)) -> s₁(activate₁(X))
activate₁(n__nil) -> nil
activate₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> zWadr₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__prefix₁(X)) -> prefix₁(activate₁(X))
activate₁(X) -> X

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.
The approximation of the Dependency Graph [13,14,18] contains 1 SCC with 5 less nodes.

↳ QTRS

  ↳ DependencyPairsProof

    ↳ QDP

      ↳ DependencyGraphProof

        ↳ QDP

Q DP problem:
The TRS P consists of the following rules:

ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> APP₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> ACTIVATE₁(YS)
APP₂(cons₂(X, XS), YS) -> ACTIVATE₁(XS)
ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X2)
ACTIVATE₁(n__app₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X1)
ACTIVATE₁(n__prefix₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X2)
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ZWADR₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> ACTIVATE₁(XS)
ACTIVATE₁(n__from₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)
ACTIVATE₁(n__s₁(X)) -> ACTIVATE₁(X)
ZWADR₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> APP₂(Y, cons₂(X, n__nil))
ACTIVATE₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> ACTIVATE₁(X1)

The TRS R consists of the following rules:

app₂(nil, YS) -> YS
app₂(cons₂(X, XS), YS) -> cons₂(X, n__app₂(activate₁(XS), YS))
from₁(X) -> cons₂(X, n__from₁(n__s₁(X)))
zWadr₂(nil, YS) -> nil
zWadr₂(XS, nil) -> nil
zWadr₂(cons₂(X, XS), cons₂(Y, YS)) -> cons₂(app₂(Y, cons₂(X, n__nil)), n__zWadr₂(activate₁(XS), activate₁(YS)))
prefix₁(L) -> cons₂(nil, n__zWadr₂(L, n__prefix₁(L)))
app₂(X1, X2) -> n__app₂(X1, X2)
from₁(X) -> n__from₁(X)
s₁(X) -> n__s₁(X)
nil -> n__nil
zWadr₂(X1, X2) -> n__zWadr₂(X1, X2)
prefix₁(X) -> n__prefix₁(X)
activate₁(n__app₂(X1, X2)) -> app₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__from₁(X)) -> from₁(activate₁(X))
activate₁(n__s₁(X)) -> s₁(activate₁(X))
activate₁(n__nil) -> nil
activate₁(n__zWadr₂(X1, X2)) -> zWadr₂(activate₁(X1), activate₁(X2))
activate₁(n__prefix₁(X)) -> prefix₁(activate₁(X))
activate₁(X) -> X

Q is empty.
We have to consider all minimal (P,Q,R)-chains.